ヒマ潰しとボケ防止のため、円管の越流式の導出を試みた。
結果だけを示すと以下の通りです（間違っていたらコッソリお知らせください）。水位が管頂より上位の場合は右辺第 2 項および第 3 項をゼロとします。それ以外は \(\eta = r\) として下さい。
展開に当たっては、懐かしきマクローリン展開、積分漸化式や倍角公式などが使われています。過程をお知りになりたい方はこちらをご覧ください。
$$
\begin{align*}
\frac{Q}{C r^2\!\sqrt{2\mathrm{g}}} & \sim
\pi \sqrt{\eta} \left(
1 – \frac{1}{32}\frac{r^2}{\eta^2} – \frac{5}{1024}\frac{r^4}{\eta^4}
\right)
\\&\quad
-\sqrt{\eta} \left[
\theta_h – \cos\theta_h\cdot\sin\theta_h \vphantom{\int} \right.
\\&\qquad\quad
-\frac{1}{3}\frac{r}{\eta}
\bigl( \sin\theta_h – \cos^{2}\!\theta_h\cdot\sin\theta_h \bigr)
\\&\qquad\quad
-\frac{1}{16}\frac{r^2}{\eta^2}
\biggl( \frac{\theta_h}{2} + \frac{\sin 2\theta_h}{4} – \cos^{3}\!\theta_h\cdot\sin\theta_h \biggr)
\\&\qquad\quad
-\frac{1}{40}\frac{r^3}{\eta^3}
\biggl( \frac{3}{4} \sin\theta_h + \frac{\sin 3\theta_h}{12}- \cos^{4}\!\theta_h\cdot\sin\theta_h \biggr)
\\&\qquad\quad\left.
-\frac{5}{384}\frac{r^4}{\eta^4}
\biggl(\frac{3}{8}\theta_h + \frac{\sin 2\theta_h}{4} + \frac{\sin 4\theta_h}{32}
\cos^{5}\!\theta_h\cdot\sin\theta_h \biggr)
\right]
\\&\quad
-\sqrt{h’}\,\bigl(
\pi – \theta_h + \sin\theta_h\cdot\cos\theta_h\vphantom{\int}
\bigr)
\end{align*}
$$
前にも書いたけど、大学で教養課程と専門課程の数学を繋ぐカリキュラムがあれば有意義だと思います。そうすると土木の若手教員の学び直しにもなったりして🙊